Ara

Dogrunun Analitik Incelemesi

Furkan RÜZGAR
20 May 2015
4 dakikada okunur

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ

Koordinatlar:

Bilindiği gibi, düzlemdeki her bir noktaya bir (a,b) sıralı ikilisi, her bir (a,b) sıralı ikilisine bir nokta karşılık gelir. Eğer bir A noktasına karşılık gelen sıralı ikili (a,b) ise a reel sayısına A nın apsisi, b'ye de ordinatı denir.

Düzlemde A ve B noktalan verildiğinde, bunlar arasındaki uzaklık lABl sembolü ile gösterilir. Bu uzaklığın nasıl hesaplanacağını aşağıdaki teorem göstermektedir.

Teorem (Düzlemde İki Nokta Arasındaki Uzaklık):

A(x1 . y1) noktaları arasındaki uzaklık

lABl =

birimdir.

Bu teoremin ispatı, yanda verilen ABC dik üçgenine Pisagor bağıntısını uygulamaktan ibarettir.

Bir Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi:

Bir doğrunun Ox - ekseni ile pozitif yönde yaptığı açıya doğrunun eğim açısı, eğim açısının tanjantına da doğrunun eğimi denir. Buna göre, d doğrusunun eğimi m ise;

m = tanQ olacaktır.

d doğrusunun eğim açısı dar açı ise eğim pozitif, geniş açı ise eğim negatif olacaktır. Yanda çeşitli eğim açısı ve eğime sahip doğrular çizilmiştir. tan90° tanımsız olduğundan, düşey doğruların eğimleri tanımsızdır.

Şimdi bir doğru üzerinde P(x1 , yL) , Q(x2, y2) noktalarını seçelim. PQT dik üçgeninde;

olacağından

olur.

Buna göre, y ve x deki değişimler

Dy = y2 – y1 , Dx = x2 – x1 ile gösterilirse

yazılabilir.

Buna göre bir doğrunun eğimi, kabaca "yükselen" kısmın "yatan" kısma oranı biçiminde tanımlanabilir.

Bir doğrunun eğimi, doğru üzerinde seçilen noktalardan bağımsızdır. Yani noktalar değişse de eğim değişmez. Örneğin doğru üzerinde

P = (x1 – y1), Q (x2 – y2), S (x3 – y3), R (x4 – y4)

noktaları alındığında, PQT ve SRK üçgenlerinin benzerliğinden,

bulunur. Yani noktalar değiştikçe oran değişmemektedir.

Bir doğru Qx eksenine paralel olduğunda m = 0 olur.

Doğru Oy - eksenine paralel olduğunda

m tanımsız olur.

Paralel ve Dik Doğrular:

d1 ve d2 doğruları paralel ise onların eğim açıları eşit ölçülü, dolayısıyla eğimleri eşittir. Buna göre,

d1 // d2 ancak ve ancak m1 = m2

Düşey olmayan d1 ve d2 dik doğrularının eğimleri, sırasıyla m1 ve m2 olsun.

olur. Buna göre; d1 diktir d2 ancak ve ancak m1 . m2 = -1

Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğrunun Denklemi:

Bir doğrunun denklemini bulmak demek, onun üzerinde alınan değişken bir P(x,y) noktasının x, y koordinatları arasında bir bağıntı bulmak demektir.

a(xo, y0) noktasından geçen ve eğimi m olan doğru üzerinde bir P(x,y) noktası alınırsa,

bulunur. Buna göre doğrunun denklemi

y = y0 = m (x – x0) olur.

y = y0 = m (x – x0) denklemi

y = mx + (y0 – mx0) ise y = mx + n

biçiminde de yazılabilir.

Şu halde x ‘in katsayısı olan sayı doğrunun eğimidir.

İki noktası Verilen Doğrunun Denklemi:

A(x1 , y1 ve B(x2,y2) noktalarından geçen doğrunun üzerinde bir P(x,y) noktası alalım.

olacağından

yazılabilir. Orantı özelliklerinden yararlanarak, bu bağıntı

biçiminde de yazılabilir.

Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Uzaklığı:

Bir A(x0 , y0) noktasının, denklemi ax + by + c = 0 olan doğruya olan uzaklığı A dan doğruya indirilen [AH] dikmesinin uzunluğudur. AH doğrusunun eğimi a / b dır.

Dolayısıyla denklemi y - y0 = b / a (x - x0 ) dır.

Bu doğru ile ax + by + c = 0 doğrusunun kesim noktası H noktasıdır. A ve H arasındaki uzaklık hesaplanarak i bulunur.

Yukarıdakiler yapıldığında;

bulunur.

Paralel İki Doğru Arasındaki Uzaklık:

Denklemleri

ax + by + c1 = 0 , ax + by + c2 = 0 olan doğrular

arasındaki uzaklık

birimdir.

Yukarıdaki şekillerde d doğrusunun farklı durumlarına karşılık oluşan a eğim açısı gösterilmiştir.

Doğrunun denklemi:

Bir doğru üzerindeki noktaların koordinatlarını veren eşitliğe doğrunun denklemi denir.

y=mx+n

y = mx + n eşitliğinde m: eğim, n: sabit sayıdır. ax + by + c = 0 şeklinde verilen denklemde y yalnız bırakılırsa

elde edilir.

x in katsayısı

eğimi verir.

Öyle ise,

ax + by + c = 0 doğrusunun eğimi

dir.

Eğimi eşit olan doğrulara paralel doğrular denir. Doğruların eğimleri arasındaki bağıntıdan daha sonra bahsedeceğiz.

İki Noktası Bilinen Doğrunun Eğim ve Denklemi:

a. İki noktası bilinen doğrunun eğimi

Analitik düzlemde A(x1, y1), B(x2, y2) noktaları bilinen d doğrusu üzerinde A, B noktalarının koordinatları kullanılarak oluşturulan ABC üçgeninin A açısı ile d doğrusunun eğim açısı yöndeş açılar olduklarından eşittirler.

Buradan

olduğundan

şeklinde de yazılabilir.

b. İki noktası bilinen doğrunun denklemi:

A(x1, y1), B(x2, y2) noktalarından geçen d doğrusu üzerinde doğruyu oluşturan noktaları temsil eden P(x, y) noktası alalım. Bu üç noktadan herhangi ikisini kullanarak yazacağımız eğimler eşittir. Buna göre;